 Творческая работа-победитель (І место)
III Дистанционной Эвристической
олимпиады по математике.
Автор Шаровар Елена,
учитель Братищенко Ольга Григорьевна
ЗАДАНИЕ 1. МАТЕМАТИКА ИЗ ЖИЗНИ
Утверждение о том, что математика является абстрактной наукой, практически не связанной с реальностью, опровергается уже фактом из истории появления единицы измерения "градус". Еще в древности люди заметили, что солнце, перемещаясь с востока на запад через точку зенита, проходит по небу путь, равный 180 диаметрам его видимого диска. С тех пор "угол взгляда" на солнечный диск стал своеобразным эталоном и получил название градуса. Приведите свои версии или доказательства реальной первопричины такого математического понятия, как "система уравнений". Опишите с помощью системы уравнений и связанных с ним понятий реальные процессы, объекты или явления (природные, культурные, социальные). Описание сопроводите конкретными уравнениями, числовыми данными и (или) графиками.
х2 + у2 = R "Природа говорит языком математики: буквы этого языка - : математические фигуры"
Утверждать, что математика является абстрактной наукой, практически не связанной с реальностью, может только человек абсолютно не знакомый с этой наукой. Математика - такое же дитя природы, как и другие науки, как животные и человек. Математика рождена матерью-природой. И точно так же, как ребенок похож на мать и не является её копией, так математика похожа на природу, но имеет с ней много различий. Сложение, вычитание, умножение, деление - всё это отображает наш мир. Но наиболее полную картину даёт система уравнений.
Система уравнений - это выражение нескольких одновременно происходящих действий. Ведь как огромен мир и в одну секунду в нём происходят, миллионы событий. А что мы имеем в системе? Одни и те же данные, но разные действия - то же, что и в жизни и многие жизненные процессы можно выразить системами уравнений.
Например, рассмотрим процесс формирования человека как личности.
Во-первых, интеллект человека во многом зависит от его учителей, родителей и той частицы таланта, что даётся ему свыше.
Я бы выразила интеллект такой функцией:
х2 - (у-16) 2 = 52
В этом уравнении х - талант. Его значение не изменяется на протяжении всей жизни.
У - это весь труд, все силы родителей и учителей, вложенные в человека в процессе его образования.
(-16) - это количество прожитых лет. Их следует брать со знаком "минус", так как годы прошлого.
5 - балл оценки образованности человека. В данном случае его можно взять как среднюю оценку в школе.
Я не выражаю зависимость этих четырёх величин линейной функцией, а возвожу всё в квадрат, так как всё это важно в двойной степени.
Но ведь знания - это ещё не всё то, что необходимо человеку для жизни. Со временем приобретается опыт, а он не менее важен, чем знания.
Поэтому опыт я бы выразила функцией:
у = (х + 4) 2, где у - степень опытности
х - текущее время
4 - этап обучения
(этапы определяются так:
1 - детский сад
2 - 1-4 классы
3 - 5-9 классы
4 - 10-11 классы)
Также огромнейшее влияние оказывает на человека среда, в которой он живёт, его друзья, знакомые. Поэтому функцией
у = 4/(х + 1/4) я бы выразила зависимость у (нетвёрдость характера) от х (течение времени), а 4 - это всё тот же этап обучения.
Также в системе уравнений я бы выразила отношения плохих и хороших качеств человека.
Хорошие качества приобретаются и воспитываются с течением времени. Я бы выразила их линейной функцией:
у = х, где у - время
х - хорошие качества характера.
От плохих качеств характера человек со временем избавляется.
Но это гораздо труднее, вдвое труднее, чем воспитывать хорошие качества.
Поэтому избавление от плохих качеств я выражаю функцией:
у = -1/2*х, где знак "-" обозначает, что это не приобретение, а избавление.
Ёще одна функция - это постоянство, устойчивость характера.
Её я выразила бы уравнением х = 0, то есть с течением времени устойчивость человека не изменяется.
Конечно, для решения системы чертим графики не полностью, а только до момента времени - 16-летия или точки [0;0] - начала всех начал.
И решение получается в виде такого вот графика:  Это человек.
Красная линия - график х2 - (у-16) 2 = 52
Синие линии - графики у = (х + 4) 2
у = 4/(х + 1/4)
фиолетовая линия - у = х
зелёные линии: у = 0
у = -1/2*х
Общего решения, конечно, эта система не имеет, но ведь человек не может заключаться в одной точке. Поэтому ответом послужит этот график.
ЗАДАНИЕ 2. ПИСЬМО АБЕЛЮ
Норвежский математик Абель в 1896 году писал своему другу: "Можешь ли ты вообразить нечто более ужасное, чем утверждение, что 0 = 1^n - 2^n + 3^n - 4^n + -, где n - положительное целое число?". И далее продолжал: "В математике вряд ли есть хоть один бесконечный ряд, сумма которого была бы строго определена". Что бы вы ответили Абелю на месте его друга? Прим.: n - это степень, а не сомножитель для каждого из чисел 1, 2, 3, 4 и др.
Прим.: n - это степень, а не сомножитель для каждого из чисел 1, 2, 3, 4 и др.
Мой милый друг! Как удивлена и поражена была я твоими словами. Я человек. Я живу в относительном и несовершенном мире. Я сужу о твоих словах только в проекциях на мою действительность. Но ты - совершенно иное дело (Абель умер в 1829 году. Поэтому, возможно, это письмо из потустороннего мира в 1896 году). Тебе известно многое, что я не знаю, ты познал, может быть, истину. И так как ты говоришь об ужасе утверждения твоего, то, значит, в мире твоем законы основ те же, что и в моем, но они не усугублены, не омрачены проделками зла. В твоем мире n - положительное целое число и иным оно не может быть. У нас же - отрицательные числа, дроби и много всякой другой нечисти. А вот суждения о невозможности суммы бесконечного ряда говорят о широте и многомерности твоего мира. В таком случае у меня просто нет слов. Мне многое недоступно и я не в праве судить.
Но тот ли это Абель, ты ли это, друг математики? Одна ли и та же рука написала мне сие письмо? Ведь в первом изречении твоем говорит математик, но во втором - смертный мира сего. Следовало ли тебе так разбивать себя на две части биссектрисой бытия? Ты - математик и ты - человек!!!
Я едина с тобой в соображениях ужаса сего утверждения. Но это естественный ужас, как и многие другие страхи мира нашего. У этого выражения есть свои причины и свои заблуждения. И я хотела бы указать тебе на них.
Взгляни на утверждение свое. Я покажу тебе, как человек мог прийти к такому немыслимому ответу. Запиши это выражение:
1^n - 2^n + 3^n - 4^n : = 0 (примечание : 1^n - это 1 в степени п и т. д.)
И рука порывается объединить друзей по паре:
(1^n - 2^n) + (3^n - 4^n) :
поймешь тогда, что числа в скобках выражают недостаток (отрицательны), и все выражение отрицательно. Но друзья, бывало, ссорятся, и мы можем пары объединить иначе:
1^n - (2^n - 3^n) - (4^n - 5^n) : =
= 1^n + (3^n - 2^n) + (5^n - 4^n) :
И числа в скобках положительны, и (что за странность?) сумма положительна!
Но разве может быть отрицательное положительным? Только если это ноль. Вот так и судим мы, что
1^n - 2^n + 3^n - 4^n : = 0
Ты негодуешь, друг мой? Но не опасайся за мое здоровье - я в здравом уме и это доказательство - лишь первая видимость, которую привела я для того, чтобы ты видел, как могло появиться сие утверждение.
На самом деле причина такого заблуждения - недалекоглядность. Разве не сталкивался ты с ней в этом мире? Она - важнейшая причина огромных заблуждений.
Найдем не окончательный, но промежуточный конец бесконечности, описанной тобою, и мы увидим, каково решение предложенного тобой выражения.
1^n - 2^n + 3^n - 4^n + : + a^n - (a + 1) ^n
И теперь, объединив по два мы получаем:
(1^n - 2^n) + (3^n - 4^n) + : + (a^n - (a + 1) ^n) - меньше нуля
( 1 + (3^n - 2^n) + (5^n - 4^n) + : + (a^n - (a - 1)^n) ) - (a + 1)^ n
здесь первая большая скобка очевидно больше нуля, но все выражение - меньше его, т.к.
(a + 1) ^n > ( 1 + (3^n - 2^n) + (5^n - 4^n) + : + (a^n - (a - 1) n) )
(Стоит ли мне приводить доказательство сего тебе, величайшему математику? Ты и сам его видишь: оно скрылось в индукции). Или же взгляни на график функции Y=X^n
Это график степенной функции Y=Xn . Точки на графике имеют абсциссы 1, 2, 3 : и т.д. Ординаты этих точек равны 1^n, 2^n, 3^n и т.д.
Данное выражение Абеля имеет вид:
1^n - 2^n + 3^n - 4^n :
мы представляем его в таком виде:
1 + (3^n - 2^n) + (5^n - 4^n):
На графике это выражение будет равно сумме красных линий "ступеней". Эта сумма очевидно больше нуля.
Если же выражение оканчивается не скобкой, а одним слагаемым, то представим его так:
1 + (3^n - 2^n) + : + ( (a - 1)^ n - (a - 2) ^n ) - a^n
В этом случае это выражение равно по модулю разности оранжевая линия минус сумма красных линий, то есть это выражение равно сумме зеленых линий, взятых со знаком "минус".
Таким образом, в первом случае имеем, что данное выражение либо значительно больше нуля, либо значительно меньше его, но нулю не равно.
То есть яснее это можно представить так:
1^n > 0
1^n - 2^n < 0
1^n - 2^n + 3^n > 0
:
1^n - 2^n + : + a^n > 0
1^n - 2^n + : + a^n - (a + 1) ^n < 0
И с возрастанием количества слагаемых число все больше отличается от нуля.
Так вот и мы видим нелепость такого выражения: оно не может быть равно нулю, если только показатель степени не ноль.
И в этом выражении мы еще и еще раз видим слова нашего друга: "Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир". Нагляднейшего примера сему изречению, чем твое выражение, я не видела. Посуди сам - не следуют ли этому выражению религиозные фанатики, ведь именно они все составные нашего мира, все добродетели складывают и вмещают в безликого Бога, которого считают нулем, ведь ноль, как и Бог - вроде бы ничто, содержащее все. Но на самом деле сумма такая мирских благ не равна нулю - богу. Только и я в этом случае бессильна: я не могу найти доказательства того, что основа мира - не безликий ноль. Я в этом случае такой же человек, как и тот, кто, обладая недалекоглядностью, счел верным приведенное мной в начале доказательство того, что
1^n - 2^n + 3^n - 4^n : = 0
И ты тоже простой человек. Но не дай человеку побеждать математика. Что же значит это: "В МАТЕМАТИКЕ ВРЯД ЛИ ЕСТЬ ХОТЬ ОДИН БЕСКОНЕЧНЫЙ РЯД, СУММА КОТОРОГО БЫЛА БЫ СТРОГО ОПРЕДЕЛЕНА"? В тебе здесь говорит смертный, который только из страха перед бесконечностью присуждает ей значение нуля или неопределенности. Но не твоя в том вина. Человек - несовершеннейшее существо и многое ему недоступно, но это не значит, что этого недоступного не существует.
На примитивнейшем уровне нашего разума очевиден бесконечный ряд:
1 - 2 - 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + 8 : = 0
А вот что меня поразило и образовало, так это вершина мысли, разума, интеллекта, достигнутая нашим с тобой современником Джоном Валлисом. Он доказал НЕМЫСЛИМОЕ:
p/2 = (2/1) ^2 * (4/3) ^2 * (6/5) ^2 * (8/7)^ 2 * :
Я преклоняюсь перед этим выражением.
Поэтому, как видишь, друг мой, я с тобой и согласна и не согласна. Но такое уж наш мир - смесь слов "да" и "нет", черного и белого, добра и зла и многих других противоположностей. Будь счастлив и новых тебе открытий!
|
